Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x}^{3}+3，x≤0}\end{array}\right.$，對(duì)于方程f（2x²+x）=a．
（1）若a=3，方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為6．
（2）若a∈（2，+∞），方程實(shí)根個(gè)數(shù)的最小值是4．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x}^{3}+3，x≤0}\end{array}\right.$的圖象，令t=2x²+x，分類討論不同情況下，方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x}^{3}+3，x≤0}\end{array}\right.$的圖象如圖所示：
（1）若a=3，令t=2x²+x，
則有三個(gè)滿足條件的t，且均非負(fù)數(shù)，
故每個(gè)t值方程t=2x²+x都有兩個(gè)根，
故方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為6個(gè)，
（2）若a∈（2，+∞），
則當(dāng)a＞3時(shí)，則有兩個(gè)滿足條件的t，且均正數(shù)，
故每個(gè)t值方程t=2x²+x都有兩個(gè)根，
故方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為4個(gè)，
當(dāng)3-$\frac{1}{512}$＜a＜3時(shí)，則有三個(gè)滿足條件的t，且故每個(gè)t值方程t=2x²+x都有兩個(gè)根，
故方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為6個(gè)，
當(dāng)a=3-$\frac{1}{512}$時(shí)，則有三個(gè)滿足條件的t，且兩個(gè)正數(shù)t值方程t=2x²+x都有兩個(gè)根，
t=3-$\frac{1}{512}$時(shí)，方程t=2x²+x有一個(gè)根，
故方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為5個(gè)，
當(dāng)2＜a＜3-$\frac{1}{512}$時(shí)，則有三個(gè)滿足條件的t，且兩個(gè)正數(shù)t值方程t=2x²+x都有兩個(gè)根，
t＜3-$\frac{1}{512}$時(shí)，方程t=2x²+x無(wú)根，
故方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為4個(gè)，
綜上所述，方程的根最小有4個(gè)，
故答案為：6，4

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，難度較大．