Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）+kx（k為常數(shù)）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）設g（x）=log₂（（

2

）^x+2+a）+log₂（

2

2

）^x，當f（x）=g（x）時，求實數(shù)x的值．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)f（-x）=f（x），即log2( 2-x+1)-kx=log2( 2x+1)+kx，可得（2k+1）x=0，由此求得k的值．
（2）由g（x）=f（x），可得 log2[2•(

2

)x+a]-

1

2

x=log₂（2^x+1）-

1

2

x，即 2•(

2

)x+a=2^x+1．
令t=(

2

)x＞0，則有t²-2t+1-a=0 ①，分類討論解一元二次方程，求得t的值，可得x的值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）+kx（k為常數(shù)）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即 log2( 2-x+1)-kx=log2( 2x+1)+kx，
即log2( 2x+1)-x-kx=log2( 2x+1)+kx，可得（2k+1）x=0，
∴2k+1=0，∴k=-

1

2

，f（x）=log₂（2^x+1）-

1

2

x．
（2）∵g（x）=log₂（（

2

）^x+2+a）+log₂（

2

2

）^x=log2[2•(

2

)x+a]-

1

2

x，
f（x）=log₂（2^x+1）-

1

2

x，
且g（x）=f（x），可得 log2[2•(

2

)x+a]-

1

2

x=log₂（2^x+1）-

1

2

x，
∴2•(

2

)x+a=2^x+1．
令t=(

2

)x＞0，則有t²-2t+1-a=0 ①，它的判別式△=4a，
當a＞0時，方程①的解為 t=1±

a

，
若0＜a＜1，1±

a

＞0，x₁=log

2

(1-

a

)，x₂=log

2

(1+

a

)．
若a=1，t=2，或 t=0（舍去），方程①的解為x=log

2

2=2．
若a＞1時，求得t=1+

a

，原方程x=log

2

(1+

a

)，
當a=0時，求得t=1，解得圓方程的解為x=0．
當a＜0時，方程①無解，原方程無解．
綜上可得，當0≤a＜1時，原方程有兩個解為x₁=log

2

(1-

a

)，x₂=log

2

(1+

a

)；
當a≥1時，原方程有一個解為x=log

2

(1+

a

)；當a＜0時，原方程無解．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應用，解對數(shù)方程，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．