Question

【題目】已知函數(shù)y=x+ 有如下性質(zhì)：如果常數(shù)t＞0，那么該函數(shù)在（0， ]上是減函數(shù)，在[ ，+∞）上是增函數(shù)．
（1）若f（x）=x+ ，函數(shù)在（0，a]上的最小值為4，求a的值；
（2）對(duì)于（1）中的函數(shù)在區(qū)間A上的值域是[4，5]，求區(qū)間長(zhǎng)度最大的A（注：區(qū)間長(zhǎng)度=區(qū)間的右端點(diǎn)﹣區(qū)間的左斷點(diǎn)）；
（3）若（1）中函數(shù)的定義域是[2，+∞）解不等式f（a2﹣a）≥f（2a+4）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意的：函數(shù)f（x）在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，

當(dāng)a＞ 時(shí)，即a＞1時(shí)函數(shù)在x= 處取得最小值，

∴f（ ）=2 =4，解得a=4，

當(dāng)a＜ 時(shí)，即0＜a＜1時(shí)，函數(shù)在x=a處取得最小值，

∴f（a）=a+1=4，解得a=3不符合題意，舍去．

綜上可得 a=4

（2）解：由（1）得f（x）=x+ ，又x=2時(shí)函數(shù)取得最小值4，

令x+ =5，則x2﹣5x+4=0，解得 x=1或 x=4，

又2∈[1，4]，

∴區(qū)間長(zhǎng)度最大的A=[1，4]

（3）解：由（1）知函數(shù)在[2，+∞）上單調(diào)遞增，

∴原不等式等價(jià)于 ，

解得a≥4或a=﹣1，

∴不等式的解集{a|a≥4或a=﹣1}

【解析】（1）利用性質(zhì)，討論 與區(qū)間（0，a]的關(guān)系，從而利用最小值是4，建立條件關(guān)系．（2）根據(jù)值域?yàn)閇4，5]，確定對(duì)應(yīng)的變量x，然后判斷最大的區(qū)間．（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較．