Question

【題目】如圖，已知橢圓： ，其左右焦點(diǎn)為 及，過點(diǎn)的直線交橢圓于， 兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為， 的中垂線與軸和軸分別交于， 兩點(diǎn)，且、、構(gòu)成等差數(shù)列．

（1）求橢圓的方程；

（2）記的面積為， （為原點(diǎn)）的面積為．試問：是否存在直線，使得？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由、、構(gòu)成等差數(shù)列，可得，又，可求得，則橢圓的方程可求；

（2）（2）假設(shè)存在直線，使得，顯然直線不能與， 軸垂直．．設(shè) 方程為 ，聯(lián)立橢圓方程，消去，得到 的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合條件，得到的方程，解出即可判斷．

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>、、構(gòu)成等差數(shù)列，

所以，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以橢圓的方程為．

（2）假設(shè)存在直線，使得，顯然直線不能與， 軸垂直．

設(shè)方程為，

將其代入，整理得，

設(shè)， ，所以，

故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以．

因?yàn)?/span>，所以，解得，即．　

∵和相似，∴若，則，

∴

整理得，因此此方程無解，

所以不存在直線，使得.