Question

7．若“函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“（m-a）（m-a-$\frac{1}{2}$）＜0”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 求出f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x-m在[0，$\frac{π}{2}$]上兩個(gè)交點(diǎn)的m的取值范圍A，解不等式（m-a）（m-a-$\frac{1}{2}$）＜0求出解集B，則A?B，進(jìn)而得到答案．

解答 解：若f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x-m=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-m=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）與y=m的圖象有在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象如下圖所示：

則m∈[1，2），
解“（m-a）（m-a-$\frac{1}{2}$）＜0”得：m∈（a，a+$\frac{1}{2}$），
若“函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“（m-a）（m-a-$\frac{1}{2}$）＜0”的必要不充分條件，
則$\left\{\begin{array}{l}a≥1\\ a+\frac{1}{2}≤2\end{array}\right.$，
解得：a∈[1，$\frac{3}{2}$]，
故答案為：[1，$\frac{3}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，兩角和差的正弦公式，充要條件，二次不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題