Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面為正方形的直四棱柱，且A₁B₁=1，AA₁=2，求：
（1）異面直線BD與AB₁所成的角的余弦值；
（2）四面體AB₁D₁C₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角

專題：計算題,空間角

分析：（1）連接C₁D、C₁B，可得四邊形AB₁C₁D是平行四邊形，所以∠BDC₁或其補(bǔ)角就是異面直線BD與AB₁所成角．再利用余弦定理，即可求出異面直線BD與AB₁所成的角的余弦值；
（2）根據(jù)題意，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，即可求出四面體AB₁D₁C₁的體積．

解答： 解：（1）連接C₁D、C₁B
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥B₁C₁且AD=B₁C₁，
∴四邊形AB₁C₁D是平行四邊形
因此AB₁∥C₁D，可得∠BDC₁或其補(bǔ)角就是異面直線BD與AB₁所成角
∵A₁B₁=1，AA₁=2，∴BD=

2

，BC₁=DC₁=

5

，
∴cos∠BDC₁=

2+5-5

2• 2 • 5

=

10

10

，
即異面直線BD與AB₁所成的角的余弦值為

10

10

；
（2）根據(jù)題意，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴四面體AB₁D₁C₁的體積為

1

3

•

1

2

•1•1•2=

1

3

．

點(diǎn)評：本題在正四棱柱中求異面直線所成角，并求四面體的體積，著重考查了正棱柱的性質(zhì)、異面直線所成角和體積的求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．