Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+a（x+lnx），a∈R． （Ⅰ）若當(dāng)a=﹣1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）＞ （e+1）a，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得x∈（0，+∞）； 當(dāng)a=﹣1時(shí)，f（x）=x2﹣x﹣lnx， = ；
∴x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是[1，+∞）；
（Ⅱ）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x2＞0，顯然符合題意；
②當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng) 時(shí)；
f（x）＜1+a+alnx ，不符合題意；
③當(dāng)a＜0時(shí)，則 ；
對于2x2+ax+a=0，△=a2﹣8a＞0；
∴該方程有兩個(gè)不同實(shí)根，且一正一負(fù)，即存在x0∈（0，+∞），使得 ；
即f′（x0）=0；
∴0＜x＜x0時(shí)，f′（x）＜0，x＞x0時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）min=f（x0）= = = ；
∵ ，∴x0+2lnx0﹣（e+2）＜0；
∴0＜x0＜e；
由 得， ；
設(shè)y= ，y′= ；
∴函數(shù) 在（0，e）上單調(diào)遞減；
∴ ；
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍
【解析】（Ⅰ）a=﹣1時(shí)，求出f（x）=x2﹣x﹣lnx，通過求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可判斷出f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）討論a的取值：a=0時(shí)，容易得出滿足題意；a＞0時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)函數(shù)x2+ax在（0，+∞）上單調(diào)遞增，讓 ＜1，便得到f（x）＜1+a+alnx ，從而這種情況不存在；當(dāng)a＜0時(shí)，通過求導(dǎo)，容易判斷出，存在x0∈（0，+∞），使f′（x0）=0，從而判斷出f（x）的最小值f（x0），再由條件f（x） 便可得到x0∈（0，e），并根據(jù)f′（x0）=0，可求出 ，從而求出a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)．