Question

【題目】已知圓心為的圓，滿足下列條件：圓心位于軸正半軸上，與直線相切，且被軸截得的弦長(zhǎng)為，圓的面積小于13.

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是的重心，求點(diǎn)的軌跡方程；

（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，，以，為鄰邊作平行四邊形.是否存在這樣的直線，使得直線與恰好平行？如果存在，求出的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理，建立方程，根據(jù)圓C的面積小于13，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由重心坐標(biāo)公式得到，結(jié)合，代入得到軌跡方程；（3）分類討論，設(shè)出直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用判別式大于0得到或利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到中點(diǎn)坐標(biāo)為，由，則，解得，即可得出結(jié)論．

（1）設(shè)圓：，由題意知，

解得或.

又∵，∴，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知得：

，即，又，

所以，即為所求.

（3）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線的方程為，不滿足題意.

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，.

又∵直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，聯(lián)立，消去得.

∴，解得或.

，.

∴中點(diǎn)坐標(biāo)為.

在平行四邊形中，則，

由于，則，∴，解得.

但，假設(shè)不成立.∴不存在這樣的直線.