Question

（04年天津卷理）（12分）

   如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，E是PC的中點，作交PB于點F。

      (I)證明 平面；

      (II)證明平面EFD；

      (III)求二面角的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解析：方法一：

(I)                 證明：連結(jié)AC，AC交BD于O。連結(jié)EO。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  底面ABCD是正方形，點O是AC的中點

在中，EO是中位線，。

而平面EDB且平面EDB，

所以，平面EDB。                              。。。。。。。。。。。。。。3分

(II)證明：底在ABCD且底面ABCD，

                           ①

同樣由底面ABCD，得

  底面ABCD是正方形，有平面PDC

而平面PDC，        ②           。。。。。。。。。。。。。。6分

由①和②推得平面PBC

而平面PBC，

又且，所以平面EFD   。。。。。。。。。。。。。。。。8分

(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角

由(II)知，

設(shè)正方形ABCD的邊長為，則

在中，

            。。。。。。。。。。。。10分

在中，

所以，二面角的大小為

方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點。設(shè)

 

 

 

(I)證明：連結(jié)AC，AC交BD于G。連結(jié)EG。

依題意得

  底面ABCD是正方形，

是此正方形的中心，

故點G的坐標(biāo)為且

         

。這表明。

而平面EDB且平面EDB，平面EDB。

(II)證明：依題意得。又故

由已知，且所以平面EFD。

(III)解：設(shè)點F的坐標(biāo)為則

從而    所以

由條件知，即

             解得 。

  點F的坐標(biāo)為 且

即，故是二面角的平面角。

且

          

所以，二面角的大小為