【題目】對(duì)于數(shù)列、,把和叫做數(shù)列的前項(xiàng)泛和,記作為.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.

1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2)數(shù)列與數(shù)列的前項(xiàng)的泛和為,且恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)從數(shù)列的前項(xiàng)中,任取項(xiàng)從小到大依次排列,得到數(shù)列、、、;再將余下的項(xiàng)從大到小依次排列,得到數(shù)列、、、.求數(shù)列與數(shù)列的前項(xiàng)的泛和

【答案】1;(2;(3.

【解析】

1)當(dāng)時(shí),求得,當(dāng)時(shí),可得,由此判斷數(shù)列為等比數(shù)列,進(jìn)而求得通項(xiàng);

2)易知,中偶數(shù)項(xiàng)為,奇數(shù)項(xiàng)為為奇數(shù)),則可分兩種情況,可得的不等關(guān)系,再利用數(shù)列的性質(zhì)求解;

3)解決該小問的關(guān)鍵是分析出滿足,進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的前項(xiàng)和,再利用錯(cuò)位相減法即可求解.

1)當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),由①,可得②,

②得,,數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,;

2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),即當(dāng)時(shí),

,

故對(duì)任意的,都成立,即對(duì)任意的恒成立,

易知,當(dāng)時(shí),,故;

當(dāng)為奇數(shù)時(shí),即當(dāng)時(shí),

故對(duì)任意的,恒成立,即對(duì)任意的恒成立.

易知,當(dāng)時(shí),,故.

綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是

3)易知,數(shù)列的前項(xiàng)中,奇偶項(xiàng)各一半,且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,

設(shè)數(shù)列中任取了個(gè)偶數(shù)項(xiàng),個(gè)奇數(shù)項(xiàng),則數(shù)列中必然是個(gè)奇數(shù)項(xiàng),個(gè)偶數(shù)項(xiàng),

又?jǐn)?shù)列由小到大排列,數(shù)列由大到小排列,則必有,即.

,③

由③得,,④

由③④得,,

因此,.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù).

1)試確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

2)設(shè),是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.

1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;

2)直線t為參數(shù))與曲線C交于AB兩點(diǎn),求最大時(shí),直線l的直角坐標(biāo)方程.

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【題目】已知橢圓)過點(diǎn).

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)過橢圓的右焦點(diǎn),且傾斜角為的直線和橢圓交于、兩點(diǎn),對(duì)于橢圓上任一點(diǎn),若,求的最大值.

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【題目】已知為拋物線的焦點(diǎn),過的動(dòng)直線交拋物線兩點(diǎn).當(dāng)直線與軸垂直時(shí),

1)求拋物線的方程;

2)設(shè)直線的斜率為1且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn),拋物線上存在點(diǎn)使得直線,的斜率成等差數(shù)列,求點(diǎn)的坐標(biāo).

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【題目】為了解某中學(xué)學(xué)生對(duì)《中華人民共和國交通安全法》的了解情況,調(diào)查部門在該校進(jìn)行了一次問卷調(diào)查(共12道題),從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取40人,統(tǒng)計(jì)了每人答對(duì)的題數(shù),將統(tǒng)計(jì)結(jié)果分成,,,,六組,得到如下頻率分布直方圖.

1)若答對(duì)一題得10分,未答對(duì)不得分,估計(jì)這40人的成績的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

2)若從答對(duì)題數(shù)在內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求恰有1人答對(duì)題數(shù)在內(nèi)的概率.

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【題目】為了解某品種一批樹苗生長情況,在該批樹苗中隨機(jī)抽取了容量為120的樣本,測量樹苗高度(單位:),經(jīng)統(tǒng)計(jì),其高度均在區(qū)間內(nèi),將其按分成6組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中高度為及以上的樹苗為優(yōu)質(zhì)樹苗.

試驗(yàn)區(qū)

試驗(yàn)區(qū)

合計(jì)

優(yōu)質(zhì)樹苗

20

非優(yōu)質(zhì)樹苗

60

合計(jì)

1)求圖中的值,并估計(jì)這批樹苗高度的中位數(shù)和平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

2)已知所抽取的這120棵樹苗來自于兩個(gè)試驗(yàn)區(qū),部分?jǐn)?shù)據(jù)如上列聯(lián)表:將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)樹苗與,兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系,并說明理由.

參考數(shù)據(jù):

0.15

010

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式:,其中.

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【題目】某客戶考察了一款熱銷的凈水器,使用壽命為十年,過濾由核心部件濾芯來實(shí)現(xiàn).在使用過程中,濾芯需要不定期更換,其中濾芯每個(gè)200.如圖是根據(jù)100臺(tái)該款凈水器在十年使用期內(nèi)更換的濾芯的件數(shù)制成的柱狀圖.(以100臺(tái)凈水器更換濾芯的頻率代替1臺(tái)凈水器更換濾芯發(fā)生的概率)

1)估計(jì)一臺(tái)凈水器在使用期內(nèi)更換濾芯的件數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù).

2)估計(jì)一臺(tái)凈水器在使用期內(nèi)更換濾芯的件數(shù)大于10的概率.

3)已知上述100臺(tái)凈水器在購機(jī)的同時(shí)購買濾芯享受5折優(yōu)惠(使用過程中如需再購買無優(yōu)惠),假設(shè)每臺(tái)凈水器在購機(jī)的同時(shí)購買濾芯10個(gè),這100臺(tái)凈水器在使用期內(nèi),更換濾芯的件數(shù)記為a,所需費(fèi)用記為y,補(bǔ)全下表,估計(jì)這100臺(tái)凈水器在使用期內(nèi)購買濾芯所需總費(fèi)用的平均數(shù).

100臺(tái)該款凈水器在試用期內(nèi)更換濾芯的件數(shù)a

9

10

11

12

頻數(shù)

費(fèi)用y

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【題目】如圖,為等腰直角三角形,,DAC上一點(diǎn),將沿BD折起,得到三棱錐,且使得在底面BCD的投影E在線段BC上,連接AE.

1)證明:;

2)若,求二面角的余弦值.

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