Question

【題目】小郭是一位熱愛臨睡前探究數(shù)學(xué)問題的同學(xué)，在學(xué)習(xí)向量三點(diǎn)共線定理時(shí)，我們知道當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)，且時(shí)，x+y=1（如圖1)第二天，小郭提出了如下三個(gè)問題，請(qǐng)同學(xué)幫助小郭解答.

（1）當(dāng)x+y>1或x+y<1時(shí)，O、P兩點(diǎn)的位置與AB所在直線之間存在什么關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并說明理由

（2）如圖2，射線OM∥AB，點(diǎn)P在由射線OM、線段OA及BA的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，求實(shí)數(shù)x的取值范圍，并求當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)y的取值范圍.

（3）過O作AB的平行線，延長(zhǎng)AO、BO，將平面分成如圖3所示的六個(gè)區(qū)域，且，請(qǐng)分別寫出點(diǎn)P在每個(gè)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)（不含邊界）時(shí)，實(shí)數(shù)x，y應(yīng)滿足的條件.（不必證明）

Answer 1

【答案】（1）若，則O、P異側(cè)；若，則O、P同側(cè)，理由見解析；（2），；（3）Ⅰ：；Ⅱ：；Ⅲ：；Ⅳ：；Ⅴ：；Ⅵ：．

【解析】

運(yùn)用平面向量基本定理和三點(diǎn)共線的結(jié)論可解決此問題．

解：（1）若，則O、P異側(cè)，若，則O、P同側(cè)；理由如下：

設(shè)，則由得，

，

當(dāng)時(shí)，與同向，由平面向量加法的平行四邊形法則可知，O、P異側(cè)；

當(dāng)時(shí)，與反向，由平面向量加法的平行四邊形法則可知，O、P同側(cè)；

（2）由圖及平面向量基本定理可知，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，

當(dāng)時(shí)，由平面向量加法的平行四邊形法則可知，；

（3）Ⅰ：；Ⅱ：；Ⅲ：；Ⅳ：；Ⅴ：；Ⅵ：．