Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|+3x．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求不等式f（x）≥3x+2的解集；
（Ⅱ）如果a＞0，且不等式f（x）≤0的解集為{x|x≤-1}，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（ I）當(dāng)a=1時(shí)，不等式即|x+1|≥2，即 x+1≥2，或x+1≤-2，由此求得所求不等式的解集．
（II）由f（x）≤0，可得3x≤x-a≤-3x，再由a＞0，求得原不等式的解集為{x|x≤-

a

2

}，再根據(jù)原不等式解集為{x|x≤-1}，得-

a

2

=-1，從而求得a的值．

解答： 解：（ I）當(dāng)a=1時(shí)，由f（x）=3x+2得|x+1|+3x≥3x+2，即|x+1|≥2，
∴x+1≥2，或x+1≤-2，解得x≥1，或x≤-3，得所求不等式的解集為[1，+∞）∪（-∞，-3]．
（II）由f（x）≤0，得|x-a|+3x≤0，即|x-a|≤-3x，得3x≤x-a≤-3x，此式同解于

3x≤x-a x-a≤-3x

，解得

x≤- a 2 x≤ a 4 .

．
∵a＞0，∴原不等式的解集為{x|x≤-

a

2

}，
又已知原不等式解集為{x|x≤-1}，得-

a

2

=-1，從而a=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．