Question

為進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)，觀測(cè)小球A、B在兩條相交成60°角的直線型軌道上運(yùn)動(dòng)的情況，如圖所示，運(yùn)動(dòng)開(kāi)始前，A和B分別距O點(diǎn)3m和1m，后來(lái)它們同時(shí)以每分鐘4m的速度各沿軌道l₁、l₂按箭頭的方向運(yùn)動(dòng)．問(wèn)：
（1）運(yùn)動(dòng)開(kāi)始前，A、B的距離是多少米？
（2）幾分鐘后，兩個(gè)小球的距離最��？

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）運(yùn)動(dòng)開(kāi)始前，AO=3，BO=1，∠AOB=60°，利用余弦定理算出AB²的值，即可得到A、B之間的距離；
（2）利用余弦定理，分當(dāng)0≤t≤

3

4

和當(dāng)t＞

3

4

兩種情況加以討論，再綜合可得（A'B'）²=48t²-24t+7（t≥0），結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當(dāng)t=

1

4

時(shí)，有最小值，兩個(gè)小球的距離同時(shí)達(dá)到最�。�

解答： 解：（1）運(yùn)動(dòng)開(kāi)始前，AO=3，BO=1，∠AOB=60°
∴AB²=AO²+BO²-2AO•BOcos60°
由此可得小球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)前的距離為：AB=

9+1-2×3×2×cos60°

=

7

≈2.65（m）
（2）設(shè)t分鐘后，小球A、B分別運(yùn)動(dòng)到A'、B'處，則AA'=4t，BB'=4t．
當(dāng)0≤t≤

3

4

時(shí)，（A'B'）²=（3-4t）²+（1+4t）²-2•（3-4t）•（1+4t）•cos60°=48t²-24t+7
當(dāng)t＞

3

4

時(shí)，（A'B'）²=（4t-3）²+（1+4t）²-2•（4t-3）•（1+4t）•cos120°=48t²-24t+7
故 （A'B'）²=48t²-24t+7=48（t-

1

4

）²+4（t≥0）
∴當(dāng)t=

1

4

，（A'B'）_min=2（m）
即

1

4

分鐘后兩個(gè)小球的距離最小，最小值為2m．

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際問(wèn)題，求兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間距離的最小值，著重考查了余弦定理、二次函數(shù)的值域與最值和進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．