Question

7．已知圓C的圓心在直線2x-7y+8=0上，且過點(diǎn)A（6，0），B（1，5），直線l的傾斜角為135°，解答下列問題
（1）若直線l的橫截距為3，求直線l的方程；
（2）求圓C的一般方程；
（3）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）直線l過（3，0），斜率為-1，可得方程
（2）設(shè)圓心C（a，$\frac{2a+8}{7}$），半徑為 r，可得圓的方程，把點(diǎn)A和B的坐標(biāo)代入方程，求出a及r的值，即得所求的圓的方程；
（3）求出圓心到直線的距離，與半徑半徑，即可判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．

解答 解：（1）直線l過（3，0），斜率為-1，可得方程為y-0=-（x-3），即x+y-3=0；
（2）設(shè)圓心 C（a，$\frac{2a+8}{7}$），半徑為 r，
則圓的方程為（x-a）²+（y-$\frac{2a+8}{7}$）²=r²，
把點(diǎn)A（1，2）和B（-2，3）的坐標(biāo)代入方程可（1-a）²+（2-$\frac{2a+8}{7}$）²=r²，①，
（-2-a）²+（3-$\frac{2a+8}{7}$）²=r²，②，解①②可得a=3，r=$\sqrt{13}$，
故所求的圓的方程為（x-3）²+（y-2）²=13．
（3）圓心到直線的距離d=$\frac{|3+2-3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$＜$\sqrt{13}$，
∴直線l與圓C相交．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．