Question

如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為2，短半軸長為1，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．

（Ⅰ）求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；
（Ⅱ）記f（x）=S²，求f（x）的最大值及面積S的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,橢圓的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）建立直角坐標系，設(shè)點C的橫坐標為x．可得縱坐標y=2

1-x2

(0＜x＜1)，可表示出面積；（Ⅱ）由題意f（x）=S²=4（x+1）²（1-x²），0＜x＜1，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極值，進而可得最值，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，以AB的中點O為原點，
以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，
設(shè)點C的橫坐標為x．點C的縱坐標y滿足方程x2+

y2

4

=1(y≥0)，
解得y=2

1-x2

(0＜x＜1)，
∴S=

1

2

(2x+2)•2

1-x2

=2(x+1)•

1-x2

，其定義域為{x|0＜x＜1}；
（Ⅱ）由題意f（x）=S²=4（x+1）²（1-x²），0＜x＜1，
∴f'（x）=8（x+1）²（1-2x）．
令f'（x）=0，得x=

1

2

．
∵當0＜x＜

1

2

時，f'（x）＞0；當

1

2

＜x＜1時，f'（x）＜0，
∴f(

1

2

)是f（x）的極大值，也是最大值，
∴當x=

1

2

時，S也取得最大值，且最大值為

f( 1 2 )

=

3 3

2

∴梯形面積S的最大值為

3 3

2

點評：本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及導(dǎo)數(shù)和橢圓的方程，屬中檔題．