Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，W＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象（如下圖）所示，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；寫出函數(shù)取得最小值時的x取值集合；
（2）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（3）若f（x）-2≤m≤f（x）+3在x∈[-

π

2

，0]上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：綜合題

分析：第（1）問根據(jù)圖象易得A和周期，進而求出ω，φ值要代入一個點的坐標求解；
第（2）問根據(jù)正弦函數(shù)的單調區(qū)間求解；
第（3）要把恒成立問題轉化成最大值最小值問題解決．

解答： 解：（1）結合給出的三角函數(shù)的形式與圖象，可知A=2，

3

4

T=

11π

12

-

π

6

=

3π

4

，
由

2π

ω

=

3π

4

得，ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），代入點（

π

6

，2）得2sin（2×

π

6

+φ）=2，
∴

π

3

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z．
 又∵|φ|＜

π

2

，∴Φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
當函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）取得最小值時，2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，k∈Z．
解得x=

π

3

+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）取得最小值時的x取值集合為{x|x=

π

3

+kπ，k∈Z}
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z．
（3）∵f（x）-2≤m≤f（x）+3在x∈[-

π

2

，0]上恒成立，
∴m要大于f（x）-2的最大值，要小于f（x）+3的最小值，
又∵函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）在x∈[-

π

2

，0]上的最大值為1，最小值為-2，
∴f（x）-2的最大值為-1，f（x）+3的最小值為1，
∴-1≤m≤1．

點評：本題是三角函數(shù)的綜合性的題目，考查了根據(jù)圖象求解析式、正弦型函數(shù)的單調區(qū)間、最值的求法，考查了數(shù)形結合、轉化與化歸的數(shù)學思想．