Question

已知函數f（x）=ax³+bx在x=1處有極大值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在區(qū)間[-

3

，3]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,函數解析式的求解及常用方法,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的概念及應用

分析：（1）由已知得f′（x）=3ax²+b，且

f′(1)=3a+b=0 f(1)=a+b=2

，由此能求出f（x）=-x³+3x．
（2）由（1）得f′（x）=-3x²+3，令f′（x）=0，得x=-1或x=1，由此利用導數性質能求出f（x）在區(qū)間[-

3

，3]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx，
∴f′（x）=3ax²+b，
∵f（x）=ax³+bx在x=1處有極大值2，
∴

f′(1)=3a+b=0 f(1)=a+b=2

，解得a=-1，b=3，
∴f（x）=-x³+3x．
（2）由（1）得f′（x）=-3x²+3，
由f′（x）=0，得x=-1或x=1，
∵f（-

3

）=0，f（-1）=-2，f（1）=2，f（3）=-18．
∴f（x）在區(qū)間[-

3

，3]上的最大值為2，最小值為-18．

點評：本題重點考查利用導數研究函數的性質，利用函數的性質解決不等式、方程問題．重點考查學生的代數推理論證能力，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．