Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），拋物線上縱坐標(biāo)為1的點到焦點的距離為p，過點M（1，0）作斜率為k的直線l交拋物線于A，B兩點，A點關(guān)于x軸的對稱點為C，直線BC交x軸于Q點．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）探究：當(dāng)k變化時，點Q是否為定點？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）首先設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）上縱坐標(biāo)為1的點為N，則N（

1

2p

，1）；然后根據(jù)拋物線的定義，列出關(guān)于p的方程，求解即可；
（2）由（1），可得拋物線方程為：y²=2x，設(shè)過點M（1，0）做斜率為k的直線l的方程為：y=k（x-1），將直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出點Q的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）上縱坐標(biāo)為1的點為N，則N（

1

2p

，1），
根據(jù)題意，N（

1

2p

，1）在拋物線上，
則

1

2p

+

p

2

=p，可得p=1；
（2）過點M（1，0）做斜率為k的直線l的方程為：y=k（x-1），
設(shè)A（

y12

2

，y1），B（

y22

2

，y2），
則C（

y12

2

，-y1），k_BC=

y2+y1

y22 2 - y12 2

=

2

y2-y1

，
所以直線BC的方程為：y+y₁=

2

y2-y1

（x-

y12

2

），
因此當(dāng)y=0時，x=

y1y2

2

，即Q（

y1y2

2

，0），
又因為

y2=2x y=k(x-1)

，
可得ky²-2y-2k=0，則y₁y₂=-2，
所以當(dāng)k變化時，點Q為定點，其坐標(biāo)為（-1，0）．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查了拋物線的定義、軌跡方程的求法，還考查了等價轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．