【題目】如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1B1B為正方形,BB1C1C為菱形,B1CAC1

(Ⅰ)求證:平面AA1B1BBB1C1C;

(Ⅱ)若DCC1中點,ADB是二面角A-CC1-B的平面角,求直線AC1與平面ABC所成角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)先證明, 從而,結(jié)合可得,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)分別以軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面的一個法向量及直線的AC1一個方向向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式,可得結(jié)果.

試題解析:(1)連結(jié),因為為菱形,所以,又 , ,所以,

。

因為,且,所以,

,所以平面平面;

(2)因為是二面角的平面角,所以,又中點,所以,所以為等邊三角形。

如圖如示,分別以軸建立空間直角坐標(biāo)系。

不妨設(shè),則,。

設(shè)是平面的一個法向量,則

,即,

所以,

所以直線與平面所成角的余弦值為。

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