Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線．

（1）過(guò)的左頂點(diǎn)引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；

（2）設(shè)斜率為1的直線l交于P，Q兩點(diǎn)，若l與圓相切，求證：；

（3）設(shè)橢圓，若M，N分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且，求證：O到直線MN的距離是定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，寫(xiě)出雙曲線的左頂點(diǎn)，求出直線的方程，聯(lián)立求得三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)，之后利用三角形的面積公式求得結(jié)果.

（2）設(shè)直線的方程為，通過(guò)直線與已知圓相切，得到，通過(guò)求解.證明.

（3）當(dāng)直線垂直軸時(shí)，直接求出到直線的距離為.當(dāng)直線不垂直軸時(shí)，設(shè)直線的方程為：，（顯然），推出直線的方程為，求出，，設(shè)到直線的距離為，通過(guò)，求出.推出到直線的距離是定值.

（1）根據(jù)題意可得的左頂點(diǎn)為，

設(shè)直線方程為，

與另一條漸近線聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以對(duì)應(yīng)三角形的面積為；

（2）設(shè)直線的方程是，因直線與已知圓相切，

故，即，

由得，

設(shè)，，則，，

則，

故；

（3）當(dāng)直線ON垂直于x軸時(shí)，，，

則O到直線MN的距離為．

當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，

設(shè)直線的方程為（顯然），

則直線的方程為.

由與橢圓方程聯(lián)立，

得，，所以.

同理.

設(shè)O到直線MN的距離為d，

則由，

得．

綜上，O到直線MN的距離是定值.