Question

【題目】已知函數(shù)，其中a∈R．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng) 時，設(shè)、為曲線上任意兩點，曲線在點處的切線斜率為k，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時，的增區(qū)間為；當(dāng)時，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)．（Ⅱ）詳見解析．

【解析】

（1）分和兩種情況分別討論導(dǎo)數(shù)的符號可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（2）原不等式等價于，不妨設(shè)，則不等式又可以轉(zhuǎn)化為即，利用導(dǎo)數(shù)可證該不等式．

（1）

當(dāng)時，，故的增區(qū)間為．

當(dāng)時，

若，則，故在為增函數(shù)；

若，則，故在為減函數(shù)；

綜上，當(dāng)時，的增區(qū)間為；

當(dāng)時，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)．

（2）當(dāng)時，，．

原不等式等價于，

不妨設(shè)，則原不等式又等價于，該式可進一步化為：

，因此原不等式等價于，下證該不等式成立．

令，則，

故在為增函數(shù)，所以即成立，

綜上，原不等式成立．