Question

給出下列命題：
①存在實數α，使sinα•cosα=1
②存在實數α，使sinα+cosα=

3

2

③函數y=sin（

3

2

π+x）是偶函數
④x=

π

8

是函數y=sin（2x+

5

4

π）的一條對稱軸方程
⑤若α、β是第一象限的角，且α＞β，則sinα＞sinβ
⑥若α、β∈（

π

2

，π），且tanα＜cotβ，則α+β＜

3π

2

其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,簡易邏輯

分析：根據二倍角公式得到sinαcosα=

1

2

sin2α，結合正弦函數的值域可判斷①；
根據兩角和與差的正弦公式可得到sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）結合正弦函數的值域可判斷②；
根據誘導公式得到y=sin（

3

2

π+x）=-cosx，再由余弦函數的奇偶性可判斷③；
x=

π

8

代入到y=sin（2x+

5

4

π）得到sin（2×

π

8

+

5

4

π）=sin

3π

2

=-1，根據正弦函數的對稱性可判斷④．
⑤舉反例加以說明．⑥利用相同的單調區(qū)間上正切函數的單調性可判斷．
通過以上分析即可得到正確答案．

解答： 解：∵sinαcosα=

1

2

sin2α=1∴sin2α=2，與正弦函數的值域矛盾，故①不對；
∵sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）≤

2

＜

3

2

，從而可判斷②不對；
∵y=sin（

3

2

π+x）=-cosx，為偶函數，故③正確；
將x=

π

8

代入到y=sin（2x+

5

4

π）得到sin（2×

π

8

+

5

4

π）=sin

3π

2

=-1，
故x=

π

8

是函數y=sin（2x+

5

4

π）的一條對稱軸方程，故④正確．
⑤取α=

13π

6

，β=，α、β是第一象限的角，且α＞β，但sinα＜sinβ，∴命題⑤錯誤．
⑥：∵α、β∈（

π

2

，π），∴-π＜-β＜-

π

2

，

π

2

＜

3π

2

-β＜π，
又cotβ=tan（

π

2

-β）=tan（

3π

2

-β），tanα＜cotβ，
∴tanα＜tan（

3π

2

-β），α、

3π

2

-β∈（

π

2

，π），又y=tanx在（

π

2

，π）上單調遞增，
∴α＜

3π

2

-β，即α+β＜

3π

2

．正確
故答案為：③④⑥．

點評：本題主要考查二倍角公式、兩角和與差的公式、誘導公式和三角函數的對稱性．考查三角函數公式的綜合應用．三角函數的公式比較多，很容易記混，平時要注意積累．