Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為A，在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B，滿(mǎn)足

BF1

=

F1F2

，AB⊥AF₂，且過(guò)A，B，F(xiàn)₂三點(diǎn)的圓與直線(xiàn)x-

3

y-3=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)右焦點(diǎn)F₂作斜率為k的直線(xiàn)l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)P（m，0），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）連接AF₁，由已知條件推導(dǎo)出a=2c=2，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立方程組

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）連接AF₁，∵AB⊥AF₂，

BF1

=

F1F2

，∴|AF₁|=|F₁F₂|，
∴a=2c，∴F₂（

1

2

a，0），B（-

3

2

a，0），
Rt△ABC的外接圓圓心為F1(-

1

2

a，0)，
半徑r=

1

2

|F₂B|=a，
由已知圓心到直線(xiàn)的距離為a，
∴

|- 1 2 a-3|

2

=a，解得a=2，
∴c=1，b=

3

，
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵F₂（1，0），設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，
消去y，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
則x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-6k

3+4k2

，
MN的中點(diǎn)為（

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

），
當(dāng)k=0時(shí)，MN為長(zhǎng)軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，則m=0，
當(dāng)k≠0時(shí)，MN垂直平分線(xiàn)方程y+

3k

3+4k2

=-

1

k

-(x-

4k2

3+4k2

)，
令y=0，∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，
∵

3

k2

＞0，∴

3

k2

+4＞4，解得0＜m＜

1

4

，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．