Question

15．設(shè)f（x）=2x²+bx+c，已知不等式f（x）＜0的解集是（0，5）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對于任意x∈[1，3]，不等式f（x）-tx≤-8有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系，列出方程求出b、c的值即可；
（2）利用分離常數(shù)法得出關(guān)于t的不等式，根據(jù)題意求出t的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=2x²+bx+c，且不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
∴2x²+bx+c＜0的解集是（0，5），
∴0和5是方程2x²+bx+c=0的兩個根，
由根與系數(shù)的關(guān)系知，-$\frac{2}$=5，$\frac{c}{2}$=0，
解得b=-10，c=0，
∴f（x）=2x²-10x；…（5分）
（2）不等式f（x）-tx≤-8 在[1，3]有解，
等價(jià)于2x²-10x+8≤tx在[1，3]有解，
等價(jià)于t≥2x+$\frac{8}{x}$-10有解，
只要t≥${（2x+\frac{8}{x}-10）}_{min}$即可，
不妨設(shè)g（x）=2x+$\frac{8}{x}$，x∈[1，3]，
則g（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，3]上單調(diào)遞增；
∴g（x）≥g（2）=8，
∴t≥-2．   …（13分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是綜合性題目