Question

已知函數(shù)的圖象為曲線C，函數(shù)的圖象為直線l．
（Ⅰ） 設(shè)m＞0，當(dāng)x∈（m，+∞）時(shí)，證明：
（Ⅱ） 設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，且x₁≠x₂，求證：（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．

Answer 1

證明：（1）令H（x）=（x+m）ln-2（x-m），x∈（m，+∞），
則H（m）=0，要證明（x+m）ln-2（x-m）＞0，
只需證H（x）=（x+m）ln-2（x-m）＞H（m），
∵H′（x）=ln+-1，
令G（x）=ln+-1，G′（x）=-，
由G′（x）=＞0得，x＞m，
∴G（x）在x∈（m，+∞）單調(diào)遞增，
∴G（x）＞G（m）=0
H'（x）＞0，H（x）在x∈（m，+∞）單調(diào)遞增．
H（x）＞H（m）=0，
∴H（x）=（x+m）ln-2（x-m）＞0，
（2）不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，要證（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2，
只需證（x₁+x₂）[a（x₁+x₂）+b]＞2，
只需證（x₁+x₂）[a+bx₂-（a+bx₁）]＞2（x₂-x₁），
∵=ax₁+b，=ax₂+b，
即（x₁+x₂）ln＞2（x₂-x₁）（*），
而由（1）知（*）成立．
所以（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2
分析：（Ⅰ）構(gòu)造函數(shù)H（x）=（x+m）ln-2（x-m），x∈（m，+∞），通過導(dǎo)數(shù)法可研究出H（x）在x∈（m，+∞）單調(diào)遞增，而H（m）=0，從而可使結(jié)論得證；
（Ⅱ）可利用分析法，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，要證（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2，只需證（x₁+x₂）[a（x₁+x₂）+b]＞2，只需證（x₁+x₂）[a+bx₂-（a+bx₁）]＞2（x₂-x₁），結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)論即可使問題解決．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)H（x）=（x+m）ln-2（x-m），x∈（m，+∞）是關(guān)鍵，探討H（x）在x∈（m，+∞）單調(diào)遞增是難點(diǎn)，突出考查分析法證題的作用，屬于難題．