Question

如圖是一塊不規(guī)則的鐵皮，已知AB⊥BC，OA∥BC，AB=PC=2OA=4，曲線段OC是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)，且開口向右的拋物線的一段，現(xiàn)用這塊鐵皮截出一塊矩形鐵皮，其中矩形的一對(duì)鄰邊分別在AB、BC上，且一個(gè)頂點(diǎn)P落在曲線段OC上，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為t+2，所截矩形鐵皮的面積為S，則函數(shù)S=f（t）的圖象大致是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，由已知條件解得拋物線方程為y²=x，由題意得S=（4-t²）（2+t），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)S=f（t）的大致圖象．

解答： 解：以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，
令拋物線方程為y²=2px，（p＞0）
∵AB⊥BC，OA∥BC，AB=PC=2OA=4，
∴C（4，2），
把C（4，2）代入拋物線方程，得p=

1

2

，
∴拋物線方程為y²=x，
由題意得P（t²，t），（0≤t＜2），
∴S=（4-t²）（2+t）
=-t³-2t²+4t+8，
∴S′=-3t²-4t+4，
解S′=0，得t=

2

3

，當(dāng)t∈（0，

2

3

）時(shí)，S′＞0；
當(dāng)t∈（

2

3

，2）時(shí)，S′＜0，
∴當(dāng)t=

2

3

時(shí)，S取最大值為

256

27

．
又當(dāng)t=0時(shí)，y=8，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)圖象的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．