Question

已知O是銳角△ABC的外心，若

OC

=x

OA

+y

OB

（x，y∈R），則（　　）

• A、x+y≤-2
• B、-2≤x+y＜-1
• C、x+y＜-1
• D、-1＜x+y＜0

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：通過(guò)三角形是銳角三角形，判斷O在三角形內(nèi)部，利用外心半徑相等，化簡(jiǎn)已知表達(dá)式，利用基本不等式求出結(jié)果即可．

解答： 解：∵O是銳角△ABC的外心，
∴O在三角形內(nèi)部，不妨設(shè)銳角△ABC的外接圓的半徑為1，
又

OC

=x

OA

+y

OB

，
∴|

OC

|=|x

OA

+y

OB

|，
可得

OC

2=x2

OA

2+y2

OB

2+2xy

OA

•

OB

，
而

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|cos∠A0B＜|

OA

|•|

OB

|=1．
∴1=x2+y2+2xy

OA

•

OB

＜x²+y²+2xy，
∴x+y＜-1或x+y＞1，如果x+y＞1則O在三角形外部，三角形不是銳角三角形，
∴x+y＜-1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，向量的數(shù)量積以及基本不等式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．