點A是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）短軸位于x軸下方的頂點，過A作斜率為1的直線交橢圓于P點，B點在y軸上且BP∥x軸，且
AB
•
AP
=9．
（1）若B（0，1），求橢圓的方程；
（2）若B（0，t），求t的取值范圍．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）利用兩條直線的交點解出點P的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積公式，進而求出b的值，得到點P的坐標(biāo)代入橢圓方程即可．
（2）類比（1）利用向量關(guān)系得到t與b的方程及點P的坐標(biāo)，代入橢圓方程并利用a2＞b2建立不等式，解出即可．
解答： 解：（1）直線AP的方程為y=x-b，聯(lián)立
y=1
y=x-b
，解得
x=b+1
y=1
，∴P（b+1，1）．
∴
AB
•
AP
=（0，1+b）•（b+1，b+1）=（1+b）2=9（b＞0），解得b=2．
∴P（3，1），代入橢圓的方程為
32
a2
+
1
b2
=1，解得a2=12．
∴橢圓的方程為
x2
12
+
y2
4
=1．
（2）由
AB
•
AP
=9，∴（0，t+b）•（t+b，t+b）=（t+b）2=9（t＞0，b＞0），∴t+b=3①．
把P（3，t）代入橢圓的方程可得
9
a2
+
t2
b2
=1，化為a2=
9b2
b2-t2
．
∵a2＞b2，∴
9b2
b2-t2
＞b2，∴
9
b2-t2
＞1，②
由①可得b=3-t代入②可得
9
(3-t)2-t2
＞1，化為
9
9-6t
＞1，解得0＜t＜
3
2
．
∴t的取值范圍是(0，
3
2
)．
點評：本題考查了直線與直線相交、點與橢圓的位置關(guān)系、數(shù)量積運算、不等式的解法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)ave{a，b，c}表示實數(shù)a，b，c的平均數(shù)，max{a，b，c}表示實數(shù)a，b，c的最大值．設(shè)A=ave{-
1
2
x+2，x，
1
2
x+1}，M=max{-
1
2
x+2，x，
1
2
x+1}，若M=3|A-1|，則x的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2x+a
(x-1)2
，（x＞1）
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，+∞）上是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sinaxcosax+2
3
cos2ax-
3
（其中a＞0），點A，B是y=f（x）圖象上相鄰的兩個最值點，且|AB|=
π2
4
+16
．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在銳角三角形△ABC中，f（A）=0，BC=
13
，AB=3，求AC的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個頂點與拋物線C：x2=4
3
y的焦點重合，F(xiàn)1F2分別是橢圓的左、右焦點，且離心率e=
1
2
，直線l：y=kx+m（km＜0）與橢圓C交于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB是橢圓C經(jīng)過原點O的弦，AB∥l，且
|AB|2
|MN|
=4．是否存在直線l，使得
OM
•
ON
=-2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
1
3
ax3+
1
2
bx2+（1-2a）x，a，b∈R，a≠0，
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與x軸相切于異于原點的一點，且函數(shù)f（x）的極小值為-
4
3
a，求a，b的值；
（Ⅱ）若x0＞0，且
a
x0+2
+
b
x0+1
+
1-2a
x0
=0，
    ①求證：af′（
x0
x0+1
）＜0； 
    ②求證：f（x）在（0，1）上存在極值點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0），其焦點為F，一條過焦點F，傾斜角為θ（0＜θ＜π）的直線交拋物線于A，B兩點，連接AO（O為坐標(biāo)原點），交準(zhǔn)線于點B'，連接BO，交準(zhǔn)線于點A'，求四邊形ABB'A'的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=lnx+x2的圖象與函數(shù)y=3x-b的圖象有3個不同的交點，則實數(shù)b的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O是銳角△ABC的外心，若
OC
=x
OA
+y
OB
（x，y∈R），則（　�。�
A、x+y≤-2
B、-2≤x+y＜-1
C、x+y＜-1
D、-1＜x+y＜0

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同步練習(xí)冊答案