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設，由，f(3)>1，，f(15)>2，…

（1）你能得到怎樣的結論？并證明；

（2）是否存在一個正數T，使對任意的自然數n，恒有f(n)<T成立？并證明你的結論。

答案：
解析：

數列1，3，7，15，…。通項公式為an=2n-1，數列，1，，2，…通項公式為，∴ 猜想：。

證明：（1）當n=1時，不等式成立。

（2）假設當n=k時不等式成立，即。則

∴ 當n=k+1時不等式也成立。

據（1）、（2）對任何nÎN*原不等式均成立。

（2）對任意給定的正意T，設它的整數部分為T¢，記m=T¢+1，則m>T。由（1）知：f(22m-1)>m，∴ f(22m-1)>T，這說明，對任意給定的正數T，總能找到正整數n（如可取假設中n為2m），使得f(n)>T。∴ 不存在正數T，使得對任意的正整數n，總有f(n)<T成立。


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為
2π
3
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函數y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移
π
2
個單位長度得到，求y=g（x）的單調增區(qū)間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為
2π
3
．
（1）求ω的值；
（2）當x∈[0，
π
6
]時，求f（x）的最值．
（3）若函數y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移
π
2
個單位長度得到，求y=g（x）的單調增區(qū)間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f，g都是由A到A的映射，其對應法則如下表（從上到下）：
表1映射f的對應法則
X 1 2 3 4
f（x） 3 4 2 1
表2映射g的對應法則
x 1 2 3 4
g（x） 4 3 1 2
則f[g（1）]的值為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f，g 都是由A到A的映射（其中A={1，2，3}），其對應法則如下表，則f[g（3）]等于（　�。�
g：x→y x 1 2 3
y 3 2 1
f：x→y x 1 2 3
y 1 1 2

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f，g都是由A到A的映射，其對應法則如下表（從上到下）：
表1  映射f的對應法則
原像 1 2 3 4
像 3 4 2 1
表2  映射g的對應法則
原像 1 2 3 4
像 4 3 1 2
則與f[g（1）]相同的是（　�。�

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