Question

已知△ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-1，0），B（1，0），圓E是△ABC的內(nèi)切圓，在邊AC，BC，AB上的切點(diǎn)分別為P，Q，R，|CP|=1（從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線段長(zhǎng)相等），動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線M．
（I）求曲線M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線BC與曲線M的另一交點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)A在以線段CD為直徑的圓上時(shí)，求直線BC的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）由題意，可得曲線M是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓（挖去與x軸的交點(diǎn)），從而可得求曲線M的方程；
（Ⅱ）設(shè)與直線BC的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消x，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

AC

•

AD

=0，即可求直線BC的方程．

解答： 解：（I）由題知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4＞|AB|，
所以曲線M是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓（挖去與x軸的交點(diǎn)），
所以a=2，c=1，
所以b=

3

，
所以曲線M：

x2

4

+

y2

3

=1（y≠0）為所求．---------------（4分）
（Ⅱ）注意到直線BC的斜率不為0，且過(guò)定點(diǎn)B（1，0），

設(shè)直線BC的方程為x=my+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
與橢圓方程聯(lián)立，消x得（4+3m²）y²+6my-9=0，
所以y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

-------------------------------------（8分）
因?yàn)?span id="iekthma" class="MathJye">

AC

=（my₁+2，y₁），

AD

=（my₂+2，y₂），
所以

AC

•

AD

=（my₁+2）（my₂+2）+y₁y₂=

7-9m2

3m2+4

注意到點(diǎn)A在以CD為直徑的圓上，所以

AC

•

AD

=0，即m=±

7

3

，-----（11分）
所以直線BC的方程3x+

7

y-3=0或3x-

7

y-3=0為所求．------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．