Question

2．設(shè)函數(shù)g（x）=x²（x∈R），f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），x≥g（x）}\\{x-g（x），x＜g（x）}\end{array}\right.$，若方程f（x）+2x-a=0有且只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為[2，$\frac{9}{4}$）．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a-2x有3個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得a的取值范圍．

解答 解：由x≥x²，求得0≤x≤1．由題意可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，0≤x≤1}\\{x{-x}^{2}，x＜0或x＞1}\end{array}\right.$，
函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a-2x有3個(gè)不同的交點(diǎn)．如圖所示：
當(dāng)直線y=a-2x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）時(shí)，求得a=2；
當(dāng)直線y=a-2x和y=x-x²（x＞1）相切于點(diǎn)B（x₀，x₀-${{x}_{0}}^{2}$）時(shí)，由切線的斜率為-2=y′${|}_{x{=x}_{0}}$=1-2x₀，
求得x₀=$\frac{3}{2}$，可得點(diǎn)B（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$）．
再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線y=a-2x求得a=$\frac{9}{4}$，
故滿足條件的a的范圍是[2，$\frac{9}{4}$），
故答案為：[2，$\frac{9}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．