Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，$\overrightarrow{OA}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{OB}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）若∠AOB=$\frac{5}{6}$π，求向量$\overrightarrow{AB}$的模；
（2）將函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，試求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）在[0，π]上的值域．

Answer 1

分析 （1）運用向量的模的公式和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及模的平方即為向量的平方，計算即可得到；
（2）運用兩角差的正弦公式和三角函數(shù)的圖象平移規(guī)律，可得g（x）的解析式，再由兩角和差的正弦公式，化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求得所求值域．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OA}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{OB}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
則|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}$=$\sqrt{3}$，
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1×$\sqrt{3}$×cos$\frac{5π}{6}$=-$\frac{3}{2}$，
向量$\overrightarrow{AB}$的模為|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}-2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$
=$\sqrt{1+3-2×（-\frac{3}{2}）}$=$\sqrt{7}$；
（2）f（x）=-$\frac{3}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）
=$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$），
由f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，
即有g(shù)（x）=$\sqrt{3}$sinx，
函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）=$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sinx
=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+sinx）=3（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）
=3sin（x-$\frac{π}{6}$），
由x∈[0，π]，可得x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
即有sin（x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
則函數(shù)F（x）的值域為[-$\frac{3}{2}$，3]．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示即性質(zhì)，同時考查函數(shù)圖象的平移和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運算化簡能力，屬于中檔題．