Question

已知數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，a₁=1，a_n+2=

1

an+1

，a₁₀₀=a₉₆，則a₂₀₁₄+2a₃=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：利用a₁=1，a_n+2=

1

an+1

，a₁₀₀=a₉₆，分別求出a₃、a₉₆，根據(jù)規(guī)律即可求a₂₀₁₄+2a₃的值．

解答： 解：由a₁=1，a_n+2=

1

an+1

，
得a₃=

1

2

，a₅=

1

1 2 +1

=

2

3

，a₇=

1

2 3 +1

=

3

5

，
a₉=

1

3 5 +1

=

5

8

，a₁₁=

8

13

，a₁₃=

13

21

，a₁₅=

21

34

，
∵a_n+2=

1

an+1

，a₁₀₀=a₉₆，
∴a₁₀₀=a₉₆=

1

a98+1

=

1

1 a96+1 +1

，
即a₉₆²+a₉₆-1=0，
解得a₉₆=

-1± 5

2

，
∵a_n＞0，
∴a₉₆=

5 -1

2

，
∴a₉₄=

5 -1

2

，…a₂₀₁₄=

5 -1

2

，
∴a₂₀₁₄+2a₃=1+

5 -1

2

=

1+ 5

2

，
故答案為：

1+ 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，根據(jù)遞推公式分別求出a₃，a₉₆的值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．