Question

某中學高三（10）班有女同學51名，男同學17名，“五四”期間該班班主任按分層抽樣的分法組建了一個由4名同學組成的“團的知識”演講比賽小組．
（Ⅰ）演講比賽中，該小組決定先選出兩名同學演講，選取方法是：先從小組里選出1名演講，該同學演講完后，再從小組內剩下的同學中選出一名同學演講，求選中的兩名同學恰有一名女同學的概率；
（Ⅱ）演講結束后，5位評委給出第一個演講同學的成績分別是：69、71、72、73、75分，給出第二個演講同學的成績分別是：70、71、71、73、75分，請問哪位同學的演講成績更穩(wěn)定，并說明理由．

Answer 1

考點：極差、方差與標準差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由題意推導出演講小組中男同學有1人，女同學有3人．由此能求出選出的兩名同學恰有一名女同學的概率．
（Ⅱ）由已知條件分別求出兩個演講的同學的方差，由此能求出哪位同學的成績更穩(wěn)定．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知：P=

4

51+17

=

1

17

．
設演講比賽小組中有x名男同學，則6817=4x，
∴x=1，
∴演講小組中男同學有1人，女同學有3人．
把3名女生和1名男生分別記為a₁，a₂，a₃，b，
則選取兩名同學的基本事件有（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，b），
（a₂，a₁），（a₂，a₃），（a₂，b），（a₃，a₁），（a₃，a₂），
（a₃，b），（b，a₁），（b，a₂），（b，a₃）共12種．
其中恰有一名女同學的情況有6種，
所以選出的兩名同學恰有一名女同學的概率為P=

6

12

=

1

2

．（7分）
（Ⅱ）-x₁=51×（69+71+72+73+75）=72，
-x₂=51×（70+71+71+73+75）=72，
S12=51×[（69-72）²+（71-72）²+（72-72）²+（73-72）²+（75-72）²]=4，
S22=51×[（70-72）²+（71-72）²+（71-72）²+（73-72）²+（75-72）²]=3.2．
因此第二個演講的同學成績更穩(wěn)定．（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查哪位同學的成績更穩(wěn)定的求法，是中檔題，解題時要注意列舉法的合理運用．