Question

已知函數(shù)f（x）=

3

cos（

π

2

-2x）+2cos²x+2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在面積為

3

的△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若asinB=

3

bcosA，b=f（-

π

3

），求a的值．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）f（x）解析式第一項利用誘導(dǎo)公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用正弦定理化簡asinB=

3

bcosA，根據(jù)sinB不為0求出tanA的值，確定出A的度數(shù)，根據(jù)b=f（-

π

3

），確定出b，利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將b，sinA，以及已知面積代入求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+3，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
則f（x）的最小正周期為π；
（Ⅱ）利用正弦定理化簡asinB=

3

bcosA，得：sinAsinB=

3

sinBcosA，
∵sinB≠0，∴sinA=

3

cosA，即tanA=

3

，
∴A=

π

3

，
∵b=f（-

π

3

）=2sin（-

2π

3

+

π

6

）+3=-2+3=1，△ABC面積為

3

，
∴

1

2

bcsinA=

3

4

c=

3

，即c=4，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+16-4=13，
則a=

13

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．