Question

7．已知：二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b為常數(shù)且a≠0）滿足f（x+5）=f（-x-3）且方程f（x）=x有等根
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m、n，（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（x+5）=f（-x-3），可得f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，結(jié)合方程f （x）=x有等根其△=0，我們可構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，解方程組求出a，b的值，即可得到f （x）的解析式；
（2）由（1）中函數(shù)的解析式，我們根據(jù)f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]，我們易判斷出函數(shù)在[m，n]的單調(diào)性，進(jìn)而構(gòu)造出滿足條件的方程，解方程即可得到答案．

解答 解：（1）∴f（x）滿足f（x+5）=f（-x-3），
∴f（x）的圖象的對稱軸為x=1
∴$-\frac{2a}=1即b=-2a$①，
又f（x）=x即ax²+（b-1）x=0有等根，∴b=1②
由①②得$a=-\frac{1}{2}，b=1$，∴$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+x$…（4分）
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n）使題設(shè)條件成立
由（1）知：$f（x）=-\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}$，∴$3n≤\frac{1}{2}$，∴$n≤\frac{1}{6}$
∴f（x）在[m，n]上是增函數(shù)，
∴f（m）=3mf（n）=3n（m＜n）
∴m，n是方程f（x）=3x的二根且m＜n
解方程$f（x）=3x即-\frac{1}{2}{x^2}-2x=0得m=-4，n=0$
∴存在實(shí)數(shù)m=-4，n=0，使f（x）的定義域?yàn)閇-4，0]，值域?yàn)閇-12，0]…（12分）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中（1）的關(guān)鍵是由已知條件構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的值域判斷出函數(shù)在[m，n]的單調(diào)性，進(jìn)而構(gòu)造出滿足條件的方程．