Question

18．已知$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β），其中α，β為銳角．
（1）求證：tanβ=$\frac{sin2α}{3-cos2α}$；
（2）求tanβ的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的余弦函數(shù)公式，倍角公式化簡即可證明．
（2）由條件利用兩角和差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得 2tanβ•tan²α-tanα+tanβ=0，再根據(jù)△=1-8tan²β≥0，求得tanβ的最大值．

解答 解：（1）證明：$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β），其中α，β為銳角．
⇒sinβ=sinα（cosαcosβ-sinαsinβ）
⇒sinβ（1-sin²α）=$\frac{1}{2}$sin2αcosβ
⇒tanβ=$\frac{sin2α}{2+2×\frac{1-cos2α}{2}}$=$\frac{sin2α}{3-cos2α}$．
得證．
（2）解：角α，β為銳角，且cos（α+β）sinα=sinβ=sin[（α+β）-α]，
∴cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，
化簡可得 tan（α+β）=2tanα，即$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2tanα，
故有 2tanβ•tan²α-tanα+tanβ=0，∴△=1-8tan²β≥0，
求得-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤tanβ≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，β為銳角，故0＜tanβ≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故tanβ的最大值是：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的正弦公式，余弦函數(shù)公式，倍角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．