Question

3．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=2，E，F(xiàn)是PA和AB的中點(diǎn)，求PA與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 連接AC和BD交于點(diǎn)O，分別以O(shè)A、OB、OE所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知數(shù)據(jù)可得$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PB}$=（1，$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{PC}$=（0，0，-2），進(jìn)而可得平面PBC的法向量，代入sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|計(jì)算可得．

解答 解：連接AC和BD交于點(diǎn)O，連接OE，由三角形的中位線可得OE∥PC，
可得OE⊥平面ABCD，由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，
分別以O(shè)A、OB、OE所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
由題意可得A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，0，0），P（-1，0，2），
∴$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PB}$=（1，$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{PC}$=（0，0，-2），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面PBC的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+\sqrt{3}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-2z=0}\end{array}\right.$，
解得z=0，x=-$\sqrt{3}$y，取y=1，則$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
設(shè)PA與平面PBC所成角為θ，則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|
=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{{2}^{2}+（-2）^{2}}•\sqrt{（-\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$

點(diǎn)評 本題考查直線和平面的夾角，建立空間直角坐標(biāo)系并轉(zhuǎn)化為向量的夾角是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．