Question

12．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C₁的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ+1=0，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{2}{\sqrt{5}}t}\\{y=\frac{1}{\sqrt{5}}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（Ⅰ）若曲線C₁與C₂的交點為A，B，求|AB|；
（Ⅱ）已知點M（ρ，θ）在曲線C₁上，求ρ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求了曲線C₁和C₂的普通方程，再求出圓心為到直線的距離，由此利用勾股定理能求出曲線C₁與C₂的交點弦的弦長．
（Ⅱ）曲線C₁是圓心為C₁（1，1），半徑r=1的圓，設(shè)M（1+cosα，1+sinα），0≤α＜2π，由$ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，利用三角函數(shù)的性質(zhì)能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ+1=0，
∴曲線C₁的直角坐標方程為x²+y²-2x-2y+1=0，則圓心為C₁（1，1），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4-4}$=1的圓，
∵曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{2}{\sqrt{5}}t}\\{y=\frac{1}{\sqrt{5}}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴曲線C₂的普通方程為x+2y-2=0，
圓心為C₁（1，1）到直線的距離d=$\frac{|1+2-2|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
又曲線C₁與C₂的交點為A，B，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-qq45nel^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
（Ⅱ）∵曲線C₁是圓心為C₁（1，1），半徑r=1的圓，
∴設(shè)M（1+cosα，1+sinα），0≤α＜2π，
∵M（ρ，θ），
∴$ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（1+cosα）^{2}+（1+sinα）^{2}}$=$\sqrt{3+2sinα+2cosα}$=$\sqrt{3+2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
∴ρ的取值范圍是[$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$，$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$]．

點評 本題考查曲線相交弦的弦長的求法，考查點的極徑范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意參婁投影儀程式和普通方程的互化、極坐標的性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)、點到直線距離公式等知識點的合理運用．