(理科)定義在R上的函數(shù)f(x)=
x+b
ax2+1
(a,b∈R,a≠0)
是奇函數(shù),當且僅當x=1時,f(x)取得最大值.
(1)求a、b的值;
(2)若方程f(x)+
mx
1+x
=0在區(qū)間(-1,1)
上有且僅有兩個不同實根,求實數(shù)m的取值范圍.
(1)由f(-x)=-f(x)得b=0
f(x)=
x
ax2+1

又由函數(shù)f(x)的定義域為R知a≥0
當x≤0時,f(x)≤0
當x>0時,f(x)=
x
ax2+1
x
2
ax2
=
1
2
a

當且僅當ax2=1即x=
1
a
時f(x)取得最大值

1
a
=-即a=1

綜上a=1,b=0…(6分)
(2)
x
x2+1
+
mx
x+1
=0化簡得

x(mx2+x+m+1)=0
∴x=0或mx2+x+m+1=0
若0是方程mx2+x+m+1=0,則m=-1
此時方程mx2+x+m+1=0的另一根為x=1,不合題意

∴方程mx2+x+m+1=0在區(qū)間(-1,1)上有且僅有一個非零實根.
當m=0時,x=-1不合題意當m≠0時,分兩種情況討論
△=0,x=
1
2m
∈(-1,1)得m=
-1-
2
2

②令h(x)=mx2+x+m+1則h(-1)•h(1)<0且h(0)≠0解得-1<m<0
綜上所述實數(shù)m的取值范圍為(-1,0)∪{
-1-
2
2
}
…(13分)
練習冊系列答案
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(1)求a、b的值;
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0
0

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(1)求a、b的值;
(2)若方程上有且僅有兩個不同實根,求實數(shù)m的取值范圍.

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