【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中,已知曲線,將曲線上的點向左平移一個單位,然后縱坐標不變,橫坐標軸伸長到原來的2倍,得到曲線,又已知直線(是參數(shù)),且直線與曲線交于兩點.
(I)求曲線的直角坐標方程,并說明它是什么曲線;
(II)設定點,求.
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【題目】某工廠有工人1000名,其中250名工人參加短期培訓(稱為類工人),另外750名工人參加過長期培訓(稱為類工人).現(xiàn)用分層抽樣方法(按類,類分二層)從該工廠的工人中共抽查100名工人,調查他們的生產能力(生產能力指一天加工的零件數(shù)).
(1)類工人和類工人中個抽查多少工人?
(2)從類工人中的抽查結果和從類工人中的抽查結果分別如下表1和表2.
表1:
表2:
① 先確定,,再完成下列頻率分布直方圖,就生產能力而言,類工人中個體間的差異程度與類工人中個體間的差異程度哪個更小?(不用計算,可通過觀察直方圖直接回答結論)
② 分別估計類工人和類工人生產能力的平均數(shù),并估計該工廠工人的生產能力的平均數(shù)(同一組中
的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值作代表).
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【題目】設橢圓的左、右焦點分別是,下頂點為,線段的中點為(為坐標原點),如圖,若拋物線與軸的交點為,且經過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設,為拋物線上的一動點,過點作拋物線的切線交橢圓于點、兩點,求面積的最大值.
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【題目】某工廠經過市場調查,甲產品的日銷售量(單位:噸)與銷售價格(單位:萬元/噸)滿足關系式(其中為常數(shù)),已知銷售價格為萬元/噸時,每天可售出該產品噸.
(1)求的值;
(2)若該產品的成本價格為萬元/噸,當銷售價格為多少時,該產品每天的利潤最大?并求出最大值.
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【題目】如圖,已知平面平面,四邊形是正方形,四邊形是菱形,且,,點、分別為邊、的中點,點是線段上的動點.
(1)求證:;
(2)求三棱錐的體積的最大值.
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【題目】一次研究性學習有“整理數(shù)據”、“撰寫報告”兩項任務,兩項任務無先后順序,每項任務的完成相互獨立,互不影響.某班研究性學習有甲、乙兩個小組.根據以往資料統(tǒng)計,甲小組完成研究性學習兩項任務的概率都為,乙小組完成研究性學習兩項任務的概率都為.若在一次研究性學習中,兩個小組完成任務項數(shù)相等.而且兩個小組完成任務數(shù)都不少于一項,則稱該班為“和諧研究班”.
(1)若,求在一次研究性學習中,已知甲小組完成兩項任務的條件下,該班榮獲“和諧研究班”的概率;
(2)設在完成4次研究性學習中該班獲得“和諧研究班”的次數(shù)為,若的數(shù)學期望,求的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、,橢圓上的點滿足,且的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設橢圓的左、右頂點分別為、,過點的動直線與橢圓相交于、兩點,直線與直線的交點為,證明:點總在直線上.
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