【題目】點(diǎn)P在圓O:x2+y2=8上運(yùn)動(dòng),PD⊥x軸,D為垂足,點(diǎn)M在線段PD上,滿足
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)過(guò)點(diǎn)Q(1, )作直線l與點(diǎn)M的軌跡相交于A、B兩點(diǎn),使點(diǎn)Q為弦AB的中點(diǎn),求直線l的方程.

【答案】
(1)解:∵點(diǎn)M在線段PD上,滿足 ,

∴點(diǎn)M是線段PD的中點(diǎn),

設(shè)M(x,y),則P(x,2y),

∵點(diǎn)P在圓O:x2+y2=8上運(yùn)動(dòng),

則x2+(2y)2=8,

,

故點(diǎn)M的軌跡方程為


(2)解:

方法一:當(dāng)直線l⊥x軸時(shí),由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得弦AB的中點(diǎn)在x軸上,

不可能是點(diǎn)Q,這種情況不滿足題意.

設(shè)直線l的方程為

,

可得 ,

由韋達(dá)定理可得x1+x2=﹣

由AB的中點(diǎn)為 ,可得﹣ =2,

解得 ,

即直線l的方程為y﹣ =﹣ (x﹣1),

則直線l的方程為x+2y﹣2=0.

方法二:當(dāng)直線l⊥x軸時(shí),由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得弦AB的中點(diǎn)在x軸上,

不可能是點(diǎn)Q,這種情況不滿足題意.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

A、B兩點(diǎn)在橢圓上,

滿足 ,

由(1)﹣(2)可得

,

由AB的中點(diǎn)為 ,可得x1+x2=2,y1+y2=1,代入上式 ,

即直線l的方程為y﹣ =﹣ (x﹣1),

∴直線l的方程為x+2y﹣2=0.


【解析】(1)判斷M線段PD的中點(diǎn),設(shè)M(x,y),則P(x,2y),運(yùn)用代入法,即可得到所求軌跡方程;(2) 方法一、運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,化簡(jiǎn)整理可得斜率k,由點(diǎn)斜式方程可得直線方程;
方法二、設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),A、B兩點(diǎn)在橢圓上,代入橢圓方程,運(yùn)用作差法和斜率公式,再由點(diǎn)斜式方程可得直線的方程.

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