【題目】點P在圓O:x2+y2=8上運動,PD⊥x軸,D為垂足,點M在線段PD上,滿足 .
(1)求點M的軌跡方程;
(2)過點Q(1, )作直線l與點M的軌跡相交于A、B兩點,使點Q為弦AB的中點,求直線l的方程.
【答案】
(1)解:∵點M在線段PD上,滿足 ,
∴點M是線段PD的中點,
設(shè)M(x,y),則P(x,2y),
∵點P在圓O:x2+y2=8上運動,
則x2+(2y)2=8,
即 ,
故點M的軌跡方程為 .
(2)解:
方法一:當(dāng)直線l⊥x軸時,由橢圓的對稱性可得弦AB的中點在x軸上,
不可能是點Q,這種情況不滿足題意.
設(shè)直線l的方程為 ,
由 ,
可得 ,
由韋達定理可得x1+x2=﹣ ,
由AB的中點為 ,可得﹣ =2,
解得 ,
即直線l的方程為y﹣ =﹣ (x﹣1),
則直線l的方程為x+2y﹣2=0.
方法二:當(dāng)直線l⊥x軸時,由橢圓的對稱性可得弦AB的中點在x軸上,
不可能是點Q,這種情況不滿足題意.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
A、B兩點在橢圓上,
滿足 ,
由(1)﹣(2)可得 ,
則 ,
由AB的中點為 ,可得x1+x2=2,y1+y2=1,代入上式 ,
即直線l的方程為y﹣ =﹣ (x﹣1),
∴直線l的方程為x+2y﹣2=0.
【解析】(1)判斷M線段PD的中點,設(shè)M(x,y),則P(x,2y),運用代入法,即可得到所求軌跡方程;(2) 方法一、運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運用韋達定理和中點坐標公式,化簡整理可得斜率k,由點斜式方程可得直線方程;
方法二、設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),A、B兩點在橢圓上,代入橢圓方程,運用作差法和斜率公式,再由點斜式方程可得直線的方程.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= +lnx在(1,+∞)上是增函數(shù),且a>0.
(1)求a的取值范圍;
(2)求函數(shù)g(x)=ln(1+x)﹣x在[0,+∞)上的最大值;
(3)設(shè)a>1,b>0,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我校為進行“陽光運動一小時”活動,計劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個占地面積為S(平方米)的矩形AMPN健身場地.如圖,點M在AC上,點N在AB上,且P點在斜邊BC上.已知∠ACB=60°,|AC|=30米,|AM|=x米,x∈[10,20].設(shè)矩形AMPN健身場地每平方米的造價為 元,再把矩形AMPN以外(陰影部分)鋪上草坪,每平方米的造價為 元(k為正常數(shù)).
(1)試用x表示S,并求S的取值范圍;
(2)求總造價T關(guān)于面積S的函數(shù)T=f(S);
(3)如何選取|AM|,使總造價T最低(不要求求出最低造價).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若f(x)=ax2+3a是定義在[a2﹣5,a﹣1]上的偶函數(shù),令函數(shù)g(x)=f(x)+f(1﹣x),則函數(shù)g(x)的定義域為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣t|+ (x>0);
(1)判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,t]上的單調(diào)性,并證明;
(2)若函數(shù)y=f(x)的最小值為與t無關(guān)的常數(shù),求實數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合 ,集合 .
(1)求A∩B;
(2)若集合C={x|2a≤x≤a+1},且(A∩B)C,求實數(shù)a的取值范圍.
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