Question

已知函數(shù)y=x+

a

x

有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在(0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞)上是增函數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)y=x+

2b

x

（x＞0）的值域?yàn)閇6，+∞），求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）已知f(x)=

4x2-12x-3

2x+1

，x∈[0，1]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）=-x-2c，若對(duì)任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求實(shí)數(shù)c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由所給函數(shù)y=x+

a

x

(x＞0)性質(zhì)知，即可得出對(duì)于函數(shù)y=x+

2b

x

，當(dāng)x=

2b

時(shí)取得最小值2

2b

，可得2

2b

=6，解出即可．
（II）設(shè)t=2x+1，t∈[1，3]，f(t)=

t2-8t+4

t

=t+

4

t

-8（t∈[1，3]）．由所給函數(shù)y=x+

a

x

(x＞0)性質(zhì)知：f（t）在[1，2]單調(diào)遞減，[2，3]單調(diào)遞增．進(jìn)而取得最值．
（III）g（x）在[0，1]單調(diào)遞減，可得g（x）∈[-1-2c，-2c]．對(duì)任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，?[-4，-3]⊆[-1-2c，-2c]，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）由所給函數(shù)y=x+

a

x

(x＞0)性質(zhì)知，當(dāng)x＞0時(shí)，x=

a

時(shí)函數(shù)取最小值2

a

；
∴對(duì)于函數(shù)y=x+

2b

x

，當(dāng)x=

2b

時(shí)取得最小值2

2b

，
∴2

2b

=6，
解得b=log₂9=2log₂3．
（Ⅱ）設(shè)t=2x+1，t∈[1，3]，f(t)=

t2-8t+4

t

=t+

4

t

-8（t∈[1，3]），
由所給函數(shù)y=x+

a

x

(x＞0)性質(zhì)知：f（t）在[1，2]單調(diào)遞減，[2，3]單調(diào)遞增．
∴f（x）在[0，

1

2

]單調(diào)遞減，在[

1

2

，1]單調(diào)遞增．
于是f(x)min=f(

1

2

)=-4，f（x）_max=max{f（0），f（1）}=-3，
∴f（x）∈[-4，-3]．
（Ⅲ）∵g（x）在[0，1]單調(diào)遞減，∴g（x）∈[-1-2c，-2c]，
由題意知：[-4，-3]⊆[-1-2c，-2c]
于是有：

-1-2c≤-4 -2c≥-3

，
解得：c=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“雙勾函數(shù)”函數(shù)y=x+

a

x

(x＞0)性質(zhì)及其應(yīng)用、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．