Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+2．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，4]上單調(diào)且有最大值為2，求實數(shù)a值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與連接兩點M（0，1），N（2，3）的線段（包括M，N兩點）有兩個相異的交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的零點

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由于二次函數(shù)f（x）的對稱軸為x=-

a

2

，分當-

a

2

≤3、當-

a

2

≥4兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)f（x）在區(qū)間[3，4]上的最大值，求得a的值．
（Ⅱ）用兩點式求得MN的方程為 l_MN：y=x+1，原命題等價于x²+ax+2=x+1在[0，2]上有兩個不等的實根．即f（x）=x²+（a-1）x+1在[0，2]有兩個零點，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由于二次函數(shù)f（x）=x²+ax+2的對稱軸為x=-

a

2

，
當-

a

2

≤3，即：a≥-6時，f（x）在區(qū)間[3，4]上單調(diào)遞增，
函數(shù)的最大值為f（4）=2，得a=-4．
當-

a

2

≥4，即：a≤-8時，f（x）在區(qū)間[3，4]上單調(diào)遞減，
函數(shù)的最大值為f（3）=2，得a=-3（舍去）．
綜上，a=-4．
（Ⅱ）用兩點式求得MN的方程為

y-1

3-1

=

x-0

2-0

，
即l_MN：y=x+1，
由題意：原命題等價于x²+ax+2=x+1在[0，2]上有兩個不等的實根．
設(shè)f（x）=x²+（a-1）x+1，即函數(shù)y=f（x）在[0，2]有兩個零點．
于是有：

f(2)≥0 0＜- a-1 2 ＜2 (a-1)2-4＞0

，
求得：-

3

2

≤a＜-1，
由此求得a的范圍為[-

3

2

，-1）．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)的零點的定義和求法，屬于中檔題．