Question

（2011•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=

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x3-ax2+bx．（a，b∈R）
（ I）若f'（0）=f'（2）=1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（ II）若b=a+2，且f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)f'（0）=f'（2）=1，就可求出a，b的值，代入函數(shù)解析式即可．
（ II）把b=a+2代入f(x)=

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x3-ax2+bx，使函數(shù)中只含參數(shù)a，因?yàn)閒（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，所以區(qū)間（0，1）是函數(shù)增區(qū)間的一個(gè)子區(qū)間，而函數(shù)f(x)=

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x3-ax2+bx是二次函數(shù)，開口向上，所以在對(duì)稱軸右側(cè)為增函數(shù)，所以只要（0，1）位于函數(shù)對(duì)稱軸右側(cè)即可．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒'（x）=x²-2ax+b，
由f'（0）=f'（2）=1即

b=1 4-4a+b=1

得

a=1 b=1

，
所以f（x）的解析式為f(x)=

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x3-x2+x．
（Ⅱ）若b=a+2，則f'（x）=x²-2ax+a+2，△=4a²-4（a+2），
（1）當(dāng)△≤0，即-1≤a≤2時(shí)，f'（x）≥0恒成立，那么f（x）在R上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)-1≤a≤2時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增；              
（2）當(dāng)△＞0，即a＞2或a＜-1時(shí)，
因?yàn)閒'（x）=x²-2ax+a+2的對(duì)稱軸方程為x=a
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，
需

a＜-1 f′(0)≥0

或

a＞2 f′(1)≥0

解得-2≤a＜-1或2＜a≤3．
綜上：當(dāng)a∈[-2，3]時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的求法，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，做題時(shí)要細(xì)心．