Question

已知點M(k，l)，P(m，n)(klmn≠0)是曲線C上的兩點，點M，N關于x軸對稱，直線MP，NP分別交x軸于點E(x_E,0)和點F(x_F,0)．

(1)用k，l，m，n分別表示x_E和x_F;

(2)當曲線C的方程分別為：x²＋y²＝R²(R>0)，＋＝1(a>b>0)時，探究x_E·x_F的值是否與點M，N，P的位置相關；

(3)類比(2)的探究過程，當曲線C的方程為y²＝2px(p>0)時，探究x_E與x_F經加、減、乘、除的某一種運算后為定值的一個正確結論(只要求寫出你的探究結論，無須證明)．

Answer 1

解析：(1)依題意N(k，－l)，且klmn≠0及MP，NP與x軸有交點知：

M，P，N為不同點，直線PM的方程為y＝ (x－m)＋n，

直線PN的方程為y＝ (x－m)＋n，

則x_E＝，同理可得x_F＝.

(2)∵M，P在圓C：x²＋y²＝R²上，

∴x_E·x_F＝＝

＝R²(定值)．

∴x_E·x_F的值與點M，N，P位置無關．

同理，∵M，P在橢圓C：＋＝1(a>b>0)上，

∴ ∴x_E·x_F＝＝

＝a²(定值)．

∴x_E·x_F的值與點M，N，P位置無關．

(3)一個探究結論是：x_E＋x_F＝0.

證明如下：依題意，

∵M，P在拋物線C：y²＝2px(p>0)上，

∴n²＝2pm，l²＝2pk.

x_E＋x_F＝＝0.

∴x_E＋x_F為定值．