【題目】如圖，已知，，分別為的中點，，將沿折起，得到四棱錐，為的中點.

（1）證明：平面；

（2）當(dāng)正視圖方向與向量的方向相同時，的正視圖為直角三角形，求此時二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意可知，由三線合一可證明，進(jìn)而由線面垂直的判定可證明平面；

（2）先證明，然后以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個點的坐標(biāo)，并求得平面的一個法向量，為平面的一個法向量，即可由二面角的向量求法求得二面角的余弦值.

（1）由平面圖可知，，，，

所以平面，所以.

因為為的中點，，

∴.

因為，

所以平面.

（2）因為的正視圖與全等，所以為直角三角形，故.

以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

則，，，，，，

所以，，，

設(shè)平面的一個法向量為，則，

∴，令，∴，

因為為平面的一個法向量，設(shè)二面角為，

所以，

因為二面角為鈍角，所以，

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知數(shù)列中，滿足記為前n項和．

（I）證明： ；

（Ⅱ）證明：

（Ⅲ）證明： .

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【題目】已知函數(shù)f(x)＝

(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則f(e)＝________，函數(shù)y＝f(f(x))－1的零點個數(shù)為________.

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（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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【題目】黨的十九大明確把精準(zhǔn)脫貧作為決勝全面建成小康社會必須打好的三大攻堅戰(zhàn)之一，為堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，某幫扶單位考察了甲乙兩種不同的農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)方式，現(xiàn)對兩種生產(chǎn)方式加工的產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行測試并打分對比，得到如下數(shù)據(jù)：

生產(chǎn)方式甲

分值區(qū)間

頻數(shù)

20

30

100

40

10

生產(chǎn)方式乙

分值區(qū)間

頻數(shù)

25

35

60

50

30

其中產(chǎn)品質(zhì)量按測試指標(biāo)可劃分為：指標(biāo)在區(qū)間上的為特優(yōu)品，指標(biāo)在區(qū)間上的為一等品，指標(biāo)在區(qū)間上的為二等品．

（1）用事件表示“按照生產(chǎn)方式甲生產(chǎn)的產(chǎn)品為特優(yōu)品”，估計的概率；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有的把握認(rèn)為“特優(yōu)品”與生產(chǎn)方式有關(guān)？

特優(yōu)品

非特優(yōu)品

生產(chǎn)方式甲

生產(chǎn)方式乙

（3）根據(jù)打分結(jié)果對甲乙兩種生產(chǎn)方式進(jìn)行優(yōu)劣比較．

附表：

0.10

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

參考公式：，其中．

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【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且過點. 為橢圓的右焦點， 為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，連接分別交橢圓于兩點.

⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若，求的值；

⑶設(shè)直線， 的斜率分別為， ，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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【題目】平面凸六邊形的邊長相等,其中為矩形,．將,分別沿,折至,,且均在同側(cè)與平面垂直,連接,如圖所示,E,G分別是,的中點．

（1）求證：多面體為直三棱柱；

（2）求二面角平面角的余弦值．

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