Question

給定數(shù)列{a_n}：

1

，

1+ 2

，

1+ 2+ 3

，…，

1+ 2+ 3+ …+ n

…
（1）判斷a₂是否為有理數(shù)，證明你的結(jié)論；
（2）是否存在常數(shù)M＞0．使a_n＜M對(duì)n∈N^*都成立？若存在，找出M的一個(gè)值，并加以證明； 若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,反證法,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用反證法進(jìn)行證明即可；
（2）利用放縮法，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）a₂是無(wú)理數(shù)，若不然，設(shè)

1+ 2

=r∈Q．
則1+

2

=r2即

2

=r2-1必為有理數(shù)，這與

2

是無(wú)理數(shù)矛盾．
（2）設(shè)bk=

k+ k+1+ k+2+ …+ n

(k=1，2，…，)
則b1=an，

b

2 k

=k+bk+1 (k=1，2，…，n-1)， 

b

2 n

=n．
于是b1≤

1+ b 2 1

2

=

1

2

+

1+b2

2

=

2

2

+

b2

2

≤

2

2

+

1

2

•

1+ b 2 2

2

=

2

2

+

3

4

+

b3

4

≤

2

2

+

3

4

+

1

4

•

1+ b 2 3

2

=

2

2

+

3

4

+

4

8

+

b4

8

≤

2

2

+

3

4

+

4

8

+

5

16

+

b5

16

≤…≤

2

2

+

3

4

+

4

8

+…+

n

2n-1

+

bn

2n-1

≤

2

2

+

3

4

+

4

8

+…+

n

2n-1

+

1

2n-1

•

1+ b 2 n

2

=

2

2

+

3

4

+

4

8

+…+

n

2n-1

+

n+1

2n

令Sn=

2

2

+

3

4

+

4

8

+…+

n

2n-1

+

n+1

2n

．
則Sn=3-

n+3

2n

＜3．
從而可取M=3（或M=4等）．則對(duì)?n∈N^*，均有a_n＜3成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查反證法與放縮法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度中等．