Question

如圖，△ABC的兩邊AB=2，AC=1，點(diǎn)D在BC邊上，且滿足

| AB |

| AC |

=

| BD |

| DC |

，點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線l分別交AB、AC于點(diǎn)P、Q，已知：

AP

=λ

AB

，

AQ

=μ

AC

（其中0＜λ≤1，0＜μ≤1），△ABC和△APQ的面積分別為S₁、S₂．
（Ⅰ）求△ABC的面積的最大值；
（Ⅱ）求證：

1

λ

+

2

μ

的值為一個(gè)定值；
（Ⅲ）求

S2

S1

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用,三角形的面積公式

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由利用三角形的面積公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，三角形ABC面積最大；
（2）由

| AB |

| AC |

=

| BD |

| DC |

可得線段AD是∠BOC的角平分線，則BD=

2

3

BC，則向量

AD

可用向量

AC

，

AB

表示，則

AM

也可用基底表示，再根據(jù)P，M，Q三點(diǎn)共線列出關(guān)于λ，μ的方程，問題獲解；
（3）利用三角形的面積公式容易將面積之比轉(zhuǎn)化為邊長之比，結(jié)合第（2）問的結(jié)果將比值轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ或μ的函數(shù)求值域．

解答： 解：（1）由已知得S△ABC=

1

2

AB×AC×sin∠BAC=sin∠BAC，
又∵∠BAC∈（0，π），∴當(dāng)∠BAC=

π

2

時(shí)，（S_△ABC）_max=1．
（2）∵△ABC的兩邊AB=2，AC=1，點(diǎn)D在BC邊上，且滿足

| AB |

| AC |

=

| BD |

| DC |

=

2

1

，
∴

BD

=

2

3

BC

=

2

3

(

AC

-

AB

)，∴

AD

=

AB

+

BD

=

1

3

AB

+

2

3

AC

，
又∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴

AM

=

1

6

AB

+

1

3

AC

 ①
∵P，M，Q三點(diǎn)共線，∴

PM

=t

PQ

，即

AM

-

AP

=t(

AQ

-

AP

) ②
又∵

AP

=λ

AB

 ③，

AQ

=μ

AC

 ④，將①③④代入②式化簡得
(

1

6

-λ)

AB

+

1

3

AC

=μt

AC

-λt

AB

，又

AB

，

AC

不共線，
∴

1 6 -λ=-λt 1 3 =μt

兩式相除消去t整理后得

1

λ

+

2

μ

=6（定值）．
（3）由題意S2=

1

2

|

AP

||

AQ

|sin∠PAQ，S1=

1

2

|

AB

||

AC

|sin∠BAC，
∴

S2

S1

=

| AP || AQ |

| AB || AC |

=λμ，又

1

λ

+

2

μ

=6，∴λ=

μ

6μ-2

≤1得

2

5

≤μ≤1，
∴

S2

S1

=

μ2

6μ-2

，（

2

5

≤μ≤1）
令ω=

μ2

6μ-2

，∵ω′=

6μ(μ- 2 3 )

(6μ-2)2

，
當(dāng)

2

5

≤μ≤

2

3

時(shí)，ω′＜0，ω（μ）遞減，
當(dāng)

2

3

＜μ≤1時(shí)，ω′＞0，ω（μ）遞增，
∴ω_min=ω(

2

3

)=

2

9

，又ω(1)=

1

4

，ω(

2

5

)=

2

5

∴ωmax=

2

5

，
∴

S2

S1

取值范圍是[

2

9

，

2

5

]．

點(diǎn)評：本題綜合性較強(qiáng)，以考查向量在幾何中的應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的值域的求法等等，有一定難度．