Question

已知函數(shù)f（x）=-

2

3

x³+2ax²+3x．
（1）當(dāng)a=

1

4

時(shí)，求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最大值、最小值；
（2）令g（x）=ln（1-x）+3-f′（x），若g（x）在定義域上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=

1

4

時(shí)，函數(shù)f（x）=-

2

3

x³+

1

2

x²+3x，f′（x）=-2x²+x+3=-（x+1）（2x-3），令f′（x）=0，解得x=-1，

3

2

．列出表格可得極值，再求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，經(jīng)過(guò)比較即可得出最值．
（2）g（x）=ln（1-x）+3-f′（x）=ln（1-x）+，g（x）=ln（1-x）+2x²-4ax，由1-x＞0可得其定義域?yàn)椋?∞，1）．
g′（x）=

1

x-1

+4x-4a=

4x2-(4+4a)x+4a+1

x-1

．由于函數(shù)g（x）在定義域上單調(diào)遞減，因此g′（x）≤0，x∈（-∞，1）．即4x²-（4+4a）x+4a+1≥0恒成立，x∈（-∞，1）?a≥

(2x-1)2

4(x-1)

，x∈（-∞，1）．求出右邊的最大值即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a=

1

4

時(shí)，函數(shù)f（x）=-

2

3

x³+

1

2

x²+3x，f′（x）=-2x²+x+3=-（x+1）（2x-3），
∵x∈[-2，2]，令f′（x）=0，解得x=-1，

3

2

．
列表如下：

x	[-2，-1）	-1	(-1， 3 2 )	3 2	( 3 2 ，2]
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

由表格可知：當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，f（-1）=-

11

6

，又f（2）=

8

3

，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]的最小值為-

11

6

．當(dāng)x=

3

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，f(

3

2

)=

27

8

，又f（-2）=

4

3

，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]的最大值為

27

8

．
（2）g（x）=ln（1-x）+3-f′（x）=ln（1-x）+，g（x）=ln（1-x）+2x²-4ax，其定義域?yàn)椋?∞，1）．
g′（x）=

1

x-1

+4x-4a=

4x2-(4+4a)x+4a+1

x-1

，
∵函數(shù)g（x）在定義域上單調(diào)遞減，∴g′（x）≤0，x∈（-∞，1）．
∴4x²-（4+4a）x+4a+1≥0恒成立，x∈（-∞，1）．
?a≥

(2x-1)2

4(x-1)

，x∈（-∞，1）．
∵

(2x-1)2

4(x-1)

≤0，∴a≥0．
因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分離參數(shù)法求取值范圍，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．